Поиск циклов нелинейных периодических дискретных систем с помощью метода усредненного прогнозирующего управления

Abstract

Динаміка навіть найпростіших нелінійних стаціонарних дискретних систем є досить складною. Вона включає в себе як періодичні рухи, так і квазіперіодичні або рекурентні. У таких системах майже завжди присутні хаотичні атрактори, природа яких на сьогодні досить добре вивчена для широкого класу модель-них стаціонарних рівнянь. В нестаціонарних системах така динаміка стає ще більш складною. У багатьох випадках хаотичні атрактори можна моделювати за допомогою періодичних рухів з великими періодами, тобто будувати так званий скелет атрактора. Пошук самих атракторів, як і мінімальних інваріантних множин на них, є важливим завданням прикладної математики - рішення використовуються в фізичних, хімічних, економічних науках, в теорії кодування, передачі сигналів та ін. Один із підходів вирішення завдань пошуку і верифікації циклів засновано на застосуванні методів стабілізації цих циклів. Ці методи можна розділити на дві групи: запізнілий контроль, який використовує знання про попередні стани системи, і прогнозний контроль, при якому приймаються майбутні значення стану системи при відсутності керування. Основ-ним результатом роботи є представлення матриці Якобі циклу системи з керуванням через відповідну матрицю Якобі системи без керування. З цього представлення відразу отримуємо коефіцієнти посилення керування, якщо мультиплікатори циклу відомі. Якщо вони не відомі, то пропонується метод оцінки коефіцієнтів посилення через наближені значення показників Ляпунова. Запропоновано методи верифікації знайдених точок циклу у вигляді трьох необхідних умов циклічності точки: перевірка малості невʼязки, періодичності та локальної асимптотичної стійкості циклу. Роботу алгоритму продемонстровано на модельних прикладах.The dynamics of even the simplest nonlinear stationary discrete systems is very complex. It includes both periodic motions and quasiperiodic or recurrent ones. In such systems, chaotic attractors are almost always present, the nature of which has been studied quite well today, at least for a wide class of model stationary equations. In non-stationary systems such dynamics becomes even more complex. In many cases chaotic attractors can be modeled using periodic motions with large periods, i.e. build the socalled skeleton of an attractor. The search for both attractors themselves and minimal invariant sets on them is an important task of applied mathematics — solutions are used in the physical, chemical, economic sciences, in the theory of coding, signal transmission, etc. One of the approaches to solving search and verification of cycle problems is based on the application methods for stabilizing these cycles. These methods can be divided into two groups: delayed control, using knowledge of the previous states of the system, and predictive control, using future values of the state of the system in the absence of control. The main result of this work is the representation of the Jacobi matrix of a system cycle with control through the corresponding Jacobi matrix of a system without control. From this representation control gains are immediately obtained if the cycle multi-pliers are known. If they are not known, then a method is proposed for estimating the gain using approximate values of Lyapunov exponents. Verification methods for the found points of the cycle are proposed in the form of three necessary conditions for the cyclicity of the point: checking the smallness of the residual, checking the periodicity, and checking the local asymptotic stability of the cycle. The operation of the algorithm is demonstrated on model examples.