Исследование геометрии D-разбиения одномерной плоскости параметра характеристического уравнения непрерывной системы

Abstract

Розглянуто два види границь D-розбиття в площині одного параметра лінійних неперервних систем, задані характеристичним рівнянням з дійсними коефіцієнтами. Проводиться оцінка кількості відрізків і інтервалів стійкості кривої D-розбиття. Визначено максимальну кількість відрізків стійкості для різних порядків поліномів рівняння границі D-розбиття першого виду (парний, непарний порядок, один — парного порядку, а другий — непарного). Доказано, що максимальна кількість відрізків стійкості однопараметричного сімейства для всіх випадків різна і залежить від співвідношення степенів поліномів рівняння кривої D-розбиття. Отримано в аналітичному вигляді похідну уявної частини виразу досліджуваного параметра в початковій точці кривої D-розбиття, знак якої залежить від співвідношення коефіцієнтів характеристичного рівняння і визначає стійкість першого відрізка дійсної осі площини параметра. Показано, що для другого виду границі D-розбиття в площині одного параметра є тільки один відрізок стійкості, розміщення якого, як і для першого виду границі області стійкості (ГОС), визначається знаком першої похідної уявної частини виразу досліджуваного параметра. Розглянуто приклад, в якому ілюструється ефективність запропонованого підходу для побудови області стійкості (ОС) в просторі двох параметрів без використання «штриховки за Неймарком» й побудови особливих прямих. При цьому забезпечується машинна реалізація побудови ОС. Враховуючи, що задача побудови границі області в площині двох параметрів зводиться до задачі визначення ГОС в площині одного параметра, то пропоновані оцінки максимальної кількості областей стійкості в площині одного параметра дозволяють зробити висновок про кількість максимальних областей стійкості в площині двох параметрів, які мають практичне значення. При цьому один з параметрів може нелінійно входити в коефіцієнти характеристичного рівняння.The paper considers two types of boundaries of the D-partition in the plane of one parameter of linear continuous systems given by the characteristic equation with real coefficients. The number of segments and intervals of stability of the X-partition curve is estimated. The maximum number of stability intervals is determined for different orders of polynomials of the equation of the boundary of the D-partition of the first kind (even order, odd order, one of even order, and the other of odd order). It is proved that the maximum number of stability intervals of a one-parameter family is different for all cases and depends on the ratio of the degrees of the polynomials of the equation of the D-partition curve. The derivative of the imaginary part of the expression of the investigated parameter at the initial point of the D-partition curve is obtained in an analytical form, the sign of which depends on the ratio of the coefficients of the characteristic equation and establishes the stability of the first interval of the real axis of the parameter plane. It is shown that for another type of the boundary of the D-partition in the plane of one parameter, there is only one interval of stability, the location of which, as for the previous type of the boundary of the stability region (BSR), is determined by the sign of the first derivative of the imaginary part of the expression of the parameter under study. Consider an example that illustrates the effectiveness of the proposed approach for constructing a BSR in a space of two parameters without using «Neimark hatching» and constructing special lines. In this case, a machine implementation of the construction of the stability region is provided. Considering that the problem of constructing the boundary of the stability region in the plane of two parameters is reduced to the problem of determining the BSR in the plane of one parameter, then the given estimates of the maximum number of stability regions in the plane of one parameter allow us to conclude about the number of maximum stability regions in the plane of two parameters, which are of practical interest. In this case, one of the parameters can enter nonlinearly into the coefficients of the characteristic equation.