Оптимальне керування початковою умовою для дробового за часом хвильового рівняння

Abstract

У даній роботі розглянуто однорідне дробове хвильове рівняння стану системи (або дробово-гіперболічне, або рівняння супердифузії) з лівосторонньою похідною Капуто за часом порядку від 1 до 2 та звичайними похідними цілих порядків за просторовими змінними. Для рівняння стану задано умови для розв’язку та його першої похідної (цілого порядку) в початковий момент часу і розглядається задача керування цією похідною першого порядку з квадратичним компромісним функціоналом якості. Для хвильового рівняння, яке описує стан системи, в роботі отримано нові додаткові оцінки регулярності розв’язків. Аналогічні оцінки отримано і для спряженого до вихідного рівняння, яке містить правосторонню дробову похідну Рімана–Ліувілля за часовою змінною. Доведено також теорему існування та єдиності розв’язку задачі оптимального керування. Сформульовано й обґрунтовано необхідні та достатні умови оптимальності як для випадку, коли область допустимих керувань обмежена, так і для випадку, коли обмеження на керування відсутні.This work examines the homogeneous fractional wave equation describing the state of the system (either fractional-hyperbolic or superdiffusion equation) with a left-sided Caputo fractional time derivative of order between 1 and 2, and ordinary integer-order derivatives with respect to spatial variables. For the state equation, conditions are given for the solution and its first derivative (integer order) at the initial time, and the problem of controlling this first-order derivative with a quadratic compromise quality functional is considered. For the wave equation that describes the state of the system, new additional estimates of the solution's regularity are obtained. Similar estimates are derived for the adjoint equation, which contains a right-sided Riemann–Liouville fractional derivative with respect to the time variable. The existence and uniqueness theorem for the optimal control problem is also proven. Necessary and sufficient conditions for optimality are formulated and justified, both for the case when the admissible control set is bounded and for the case when there are no control constraints.